第101章如此简单


    陈志远的床已经空了，被子叠成了一个棱角分明的豆腐块，枕头端端正正地放在被子上，枕边那本吉米多维奇摊开在昨晚他写到的那一页，旁边搁着一支没盖笔帽的钢笔，笔尖的墨迹已经干了。


    陆沉走过去看了一眼，摊开的那一页是三重积分的变量代换，陈志远在页边空白处写了密密麻麻的批注。


    最后一行是雅可比行列式的几何意义终于想通了，后面跟着三个感叹号，感叹号的尾巴拖得很长，显然写的时候心情很激动。


    陆沉把那支钢笔的笔帽找到盖上，然后去水房洗漱。


    水房里挤满了人，一排水泥砌的洗手池前面站了一排集训队队员，刷牙的刷牙洗脸的洗脸，还有人把毛巾搭在脖子上两只手空出来翻着一本小册子。


    陆沉认出来那本小册子是集训队昨天发的《im0历年真题精选1980—1989》，封面是浅蓝色的油印纸，内页用订书钉装订，翻开以后有一股油墨没干透的气味。


    翻小册子的人是王雪松。


    他站在洗手池最靠里的位置，牙刷叼在嘴里，左手翻书，右手拿着搪瓷缸子接水，三个动作各干各的互不干扰。


    他看到陆沉进来，把牙刷从嘴里拿出来点了一下头算是打招呼，然后继续翻书。


    陆沉在水房最靠外的位置找到了一个空位。


    水龙头里的水很凉，带着bj冬天自来水管深处储存的寒意，泼在脸上让皮肤猛地收紧。


    他洗完脸抬起头，从水房门口望出去，看见走廊尽头的窗户外面天还没全亮，灰蓝色的晨光里教学楼的轮廓像一幅还没干透的水墨画。


    七点整，所有人到活动室集合。


    刘领队站在那块为国争光勇攀高峰的横幅下面，手里拿着一叠密封的牛皮纸袋。


    他旁边站着孙老师和方宜民，孙老师手里是一份花名册，方宜民端着一个搪瓷茶缸，茶缸上印着北京师范大学的红字。


    「摸底考试，时间四个小时。」刘领队举了举手里的牛皮纸袋，「题目是数学所和北大数学系联合出的，难度参照imo标准。三道题，满分二十一分。规则只有一条，不许交头接耳。答完可以提前交卷，交卷以后到食堂自己找饭吃。」


    他撕开第一个牛皮纸袋，把试卷分发给第一排的人往后传。


    纸张在人们手里传递时发出乾燥的哗哗声，有人拿到卷子立刻翻到背面看第三题，有人深吸了一口气才开始看第一题，有人看完第一题以后眉头皱起来然后松开然后皱得更紧。


    陆沉接过陈志远递来的卷子，没有急着翻看，先平铺在桌面上把四个角抚平。


    三道题。


    第一道代数，第二道组合几何，第三道数论。


    他的目光在第一题上停留了大约十秒。


    题目是证明一个关于有限群表示的不等式，条件给得很简洁，只有两行，但简洁意味着隐藏的信息密度大一给的约束越少，你需要自己构建的中间结构就越多。


    他读完题目的瞬间脑中自动拆解出了三条可能的路径：用群特徵标的正交关系直接展开；构造一个辅助表示然后利用舒尔引理；或者走burnside公式绕过去。


    三条路都能通，但长度和中间的技巧密度不一样。


    他选了第二条，构造辅助表示然后用舒尔引理，这条路在三者之中步骤最简洁但构造那一步需要一点灵光。


    第二道组合几何。


    平面上给定n个点，满足任意三点不共线，证明可以用若干条线段将这些点连成一个网络，使得网络中没有相交的线段，并且线段总数不超过一个给定的上界。


    图论和平面几何的交叉问题，核心是把几何约束转化成图的性质。


    他读完题就意识到这道题的本质是平面图的边数上界给定n个顶点，在任意三点不共线的几何条件下，可以构造出一个不含相交边的图，而这个图的边数不可能超过3n—


    6。


    证明的关键在于如何用欧拉公式和平面图的面的度数之和的性质来夹逼。


    第三道数论。


    求证一类丢番图方程在给定条件下的解数上界。


    这道题的题干最长，占了半页纸，中间还嵌了一个分段函数形式的约束条件。


    陆沉读了两遍。


    不是因为没读懂，是因为读第一遍的时候他发现题目里藏了一个陷阱—那个分段函数的定义域在某个边界值上是不连续的，而大部分人会习惯性地假设连续性然后直接套用解析数论的常规估计方法。


    一旦套了，推导会在第三步左右卡住，因为那个不连续点会破坏渐近展开的余项控制。


    出题的人很懂。


    不是懂数学，是懂考生。


    他把三道题在心里排了一个顺序：先做第二道，因为组合几何的书写量最大，图论证明需要画辅助图并且对图的每个区域编号，趁脑子最清醒的时候把最繁琐的部分处理掉。


    然后做第一道代数，最后做第三道数论。


    决定之后他拿起笔开始写。


    活动室里只剩下笔尖划过纸面的声音，二十七个人同时书写的声音汇在一起不是嘈杂，是一种很特殊的安静像蚕吃桑叶，细密丶持续丶专注。


    偶尔有人翻过一页草稿纸，偶尔有人停下笔盯着天花板看几秒然后低头继续写，偶尔有人轻轻呼出一口气那口气里带着刚刚跨过一个障碍之后的松弛。


    陈志远坐在陆沉右边，他做题的习惯跟陆沉完全不同。


    陆沉是先想清楚再落笔，写出来的东西每一行都是最终推导路径的一部分，很少涂改。


    陈志远是先写再说，想到什么就写什么，草稿纸上密密麻麻全是中间过程的碎片，各种箭头和标注，像一个在密林里用砍刀开路的人，走三步退一步，方向大致正确但路径弯弯曲曲。


    他写组合几何的时候在草稿纸上画了七八个图，每个图旁边标满了字母和数字，画到第五个图的时候他忽然停住笔，盯着图看了好一会儿，然后迅速翻到前一页把之前写的一个引理划掉重写。


    陆沉写第二道题的过程中用余光注意到陈志远的状态，但他没有分心去看。


    竞赛场上的礼貌之一就是不要窥探别人的草稿纸—每个人都有自己的节奏，每个人都在跟自己面前的题目搏斗，你的目光哪怕只是好奇的一瞥，也可能被对方解读为比较或施压。


    九点二十分，陆沉做完了第二道题。


    图论证明写了将近两页，画了三张图，每个区域用字母编号，边的计数部分用了三种颜色区分。


    他从家里带来的原子笔只有蓝色，所以三种颜色其实是三种不同的下划线样式：单实线丶双实线丶波浪线。


    写完以后他把证明从头到尾检查了一遍，确认欧拉公式的应用条件没有遗漏（平面连通图，他特意加了一行说明原图可以通过添加虚拟边的方式扩充为连通图而不改变边的上界），确认面的度数求和不重不漏，确认最后的等号取等条件与题设相容。


    检查完毕，他开始写第一题。


    十点四十分，第一题写完。


    代数证明写得比预想中长一些，因为他在构造辅助表示时选择了一条稍微绕一点但逻辑更透明的路径一先把原群分解为不可约表示的直和，然后对每一个不可约成分分别证明不等式，最后用正交关系把各部分拼回去。


    这样做的好处是每一步的合法性都一目了然，坏处是多写了半页纸。


    他权衡了一下觉得值，竞赛卷子的评分标准是步骤分大于简洁分，你跳过的每一步如果恰好是评分细则里的采分点，跳了就是丢了。


    十一点刚过，他开始写第三题。


    数论的陷阱在他读到题目的那一刻就已经识别出来了，真正的功夫在于绕过陷阱之后怎么建立余项估计。


    他用的是指数和估计加一个分段求和的技术，把不连续点两侧的贡献分开处理，然后证明不连续点本身对渐近主项的扰动是高阶小量。


    推导写到一半的时候他听见身后有人交卷了，椅子被推开的声音，试卷放在讲台上的声音，脚步声走出活动室的声音。


    他没有回头。


    有人交卷意味着有人做完了或者做不下去了，无论是哪种情况都跟他无关。


    他继续写。


    十一点四十分，陆沉写完了第三题的最后一行。


    陆沉把三道题的答卷从头到尾检查了一遍。


    不是检查有没有错误，那种检查在每道题写完的当下已经完成了。


    这次的检查是另一种：检查每一道题的书写是否清晰，关键步骤是否有足够的文字说明，结论是否明确标注。


    前世的导师说过一句话：你写的证明不是写给你自己看的，是写给评卷人看的。


    评卷人手里有一份评分标准，你的任务是把你的思路和标准之间搭一座最短的桥。


    陆沉把那座桥又加固了一遍，然后起身交卷。


    讲台上已经摞了五六份试卷，最上面那份的署名是顾小北，字迹小而工整，每个字都像用尺子比着写的一样排列整齐。


    他把试卷放在顾小北那套上面，然后走出活动室。


    走廊里站着两个人，一个是顾小北，一个是何巍。


    顾小北靠在窗台边，手里捏着一颗大白兔奶糖正在剥糖纸，看到陆沉出来朝他举了举奶糖算是打招呼。


    「你做完了？」她问。


    「做完了。」陆沉说。


    「第三题那个分段函数，你发现了没？」


    「你说那个不连续点？」


    顾小北剥糖纸的手停了一下，然后嘴角弯了弯。


    「发现了就好，我还担心万一只有我发现了，是不是我自己想多了。」


    此刻何巍站在走廊里，没有跟顾小北和陆沉站在一起，也没有去食堂，就那么靠在墙上，目光落在走廊尽头那扇窗户外面，像在等什么又像什么都没等。


    「陆沉。」何巍喊他，「你第三题怎么处理的？」


    他转过头看了他一眼。


    「分段求和。」


    「不连续点呢？」


    「单独拎出来证它对主项的影响是o（1）。」


    然后何巍从墙上直起身，朝食堂的方向走去。


    「吃饭。」他说。


    食堂里集训队的窗口已经开了。


    大师傅站在玻璃窗后面，手里拿着一把大铁勺，面前摆着几个大铝盆，盆里装着白菜炖豆腐丶土豆丝丶西红柿炒鸡蛋。


    陆沉端着饭盆排在队伍里，前面是顾小北，再前面是何巍。


    何巍打饭的时候跟大师傅说多打点米饭，大师傅看了他一眼给他多舀了一勺。


    顾小北打饭的时候说西红柿炒鸡蛋多要点汤，大师傅也给她多舀了一勺汤。


    轮到陆沉的时候大师傅看了看他的个头，主动多舀了半勺西红柿炒鸡蛋扣在米饭上。


    「多吃点长身体。」大师傅说。


    三个人端着饭盆在长条桌边坐下。


    吃了一会儿陆陆续续有人从活动室方向走过来，十二点前后交卷的人最多，食堂里的空位一个一个被填满。


    陈志远是十二点一刻到的，端着饭盆一屁股坐在陆沉旁边，脸上的表情既不是高兴也不是沮丧，更像是一个跑完长跑的人终于停下来以后那种空白的疲惫。


    「第三题。」他说，只说了三个字就开始扒饭。


    扒了好几口才继续说下去：「我一开始没注意到那个不连续点，写到第三页才发现。


    前面全废了，重新写了一遍。」


    「写完了吗？」陆沉问。


    「写完了，但后面时间不够，证明收尾收得有点糙。」陈志远嚼着一块土豆，「不过至少发现了。要是一直没发现就那么交上去，那就不是糙不糙的问题了。」


    顾小北隔着桌子朝陈志远比了一个大拇指。


    陈志远看见了大拇指，苦笑了一下继续扒饭。


    下午的讲评在活动室进行。


    刘领队把试卷发回来，每份试卷上除了分数还有阅卷老师的批注。


    讲评的方式不是从头到尾讲一遍标准答案，而是把每道题挑几个典型的解法或者典型的错误拿出来分析。


    讲第一题的时候他在黑板上写了三种不同的证明路径，分别标注了代数特徵标法丶舒尔引理法丶burnside引理法，然后让用这三种方法的人举手。


    大多数人举手在特徵标法，两个人举在舒尔引理，一个人举在burnside。


    陆沉举在舒尔引理和burnside。


    先是舒尔引理。


    「陆沉的方法。」刘领队在黑板上他的那一路径旁边打了个勾，「步骤最简，但对构造能力要求高。大部分人用特徵标，稳妥，不容易出错，考场上的选择没有高低，只有适不适合自己。」


    讲第二题的时候刘领队把陆沉的图论证明投影了出来。


    不是用投影仪，是把他的答卷贴在一块木板上，让大家传看。


    传看的过程中有人发出轻微的感叹声，不是因为他做对了，是因为他的图实在画得太清楚了。


    三个图对应三种情况，每个图的顶点用字母标得整整齐齐，区域编号从r1到r8，边数统计表格画在证明的最后，表头写着区域丶边数贡献丶累计，像一份微型的工程图纸。


    王雪松看完以后把答卷传给下一个人，对陆沉说了一句话：「你以前是不是画过工程图？」


    陆沉说没有。


    王雪松点了点头，没有追问。


    讲第三题的时候刘领队特意让陆沉站起来说他的解法。


    陆沉站起来走到黑板前面，拿起粉笔，没有看任何笔记，从丢番图方程的原始形式开始推。


    推到分段函数的不连续点的时候他在黑板上画了一个大大的坐标系，把不连续点用一个红粉笔圈出来。


    「这里。」他说，「大部分人可能在这里摔。」


    然后他继续往下推，分段求和处理得乾净利落，最后的主项和余项之间的关系用一个不等式夹逼收尾。


    写完之后他把粉笔放回粉笔槽里，拍了拍手上的粉笔灰，走回自己的座位。


    活动室里安静了好几秒。


    因为陆沉讲题的方式。


    他没有说我的方法是这样，也没有说这道题应该怎么做。


    他只是站起来，把一道复杂的题从起点推到终点，中间每一步的动机都交代得清清楚楚，包括他在哪里犹豫过丶为什么选择了a方案而不是b方案丶那个不连续点为什么重要。


    他不是在展示自己的答案，他是在把自己解题时大脑里的整个思维过程剖开来给大家看。


    刘领队等陆沉坐下以后沉默了一会儿，然后说：「陆沉同学刚才讲的，比我能讲的更好，你们记住这种感觉。」


    「在集训队里，做题很重要，但学会怎么把你想的东西讲给别人听同样重要。因为将来你们中的六个人要组成一支队伍。队伍意味着什么？意味着你不但要自己能做出来，还要让你的队友相信你的思路是对的，并且能沿着你的思路继续往下走。」


    晚自习在活动室旁边的阅览室进行。


    阅览室不大，书架上的书大多是数学和物理方面的，有几本翻得很旧的《数学通报》


    合订本，有一整套《高等数学》教材，还有一些油印的竞赛资料用牛皮纸封面装订着在书架最底层。


    队员们各自占据一张桌子摊开书本和草稿纸，有人复盘白天的考试题目，有人开始刷自己带的习题集，有人在看集训队发的资料。


    陆沉坐在靠窗的一个位置，面前摊开的是赵大江那本便签本。